.

Thus the solution to $D_t \vec{x}=a \vec{x},$ $\vec{x} (0) = \vec{x_0}$ is $\vec{x}(t)=e^{At} \vec{x_0 }$ $(=\Phi(t) \Phi ^{-1} (0) \vec{x_0} \Rightarrow e^{At} = \Phi(t) \Phi ^{-1} (0) \vec{x_0} )$